Matematik mo''jizalar va sirlar. Matematik mo'jizalar va sirlar Matematik mo'jizalar va sirlarni yuklab oling

Ikki fanning chorrahasida joylashgan boshqa ko'plab fanlar singari, matematik nayranglarga ham matematiklar ham, sehrgarlar ham alohida e'tibor bermaydilar. Birinchisi, ularni bo'sh o'yin-kulgi deb hisoblaydi, ikkinchisi ularni juda zerikarli deb e'tiborsiz qoldiradi. Matematik nayranglar, ochiqchasiga aytganda, matematik bo'lmaganlar auditoriyasini sehrlab qo'yadigan nayranglar toifasiga kirmaydi; bunday fokuslar odatda ko'p vaqt talab etadi va ular juda samarali emas; boshqa tomondan, ularning tafakkuridan chuqur matematik haqiqatlarni chiqarmoqchi bo'lgan odam deyarli yo'q.
Va shunga qaramay, shaxmat kabi matematik nayranglarning o'ziga xos jozibasi bor. Shaxmat matematik konstruktsiyaning nafisligini o'yin taqdim eta oladigan zavq bilan birlashtiradi. Matematik nayranglarda matematik konstruktsiyalarning nafisligi o'yin-kulgi bilan birlashtirilgan. Shuning uchun ular bir vaqtning o'zida ikkala soha bilan tanish bo'lganlarga katta zavq bag'ishlashlari ajablanarli emas.
Ushbu kitob, mening ma'lumotlarimga ko'ra, zamonaviy matematik yo'nalishning butun sohasini ko'rib chiqishga birinchi urinishdir. Ushbu kitobdagi materiallarning aksariyati qiziqarli matematik adabiyotlardan emas, balki sehrli fokuslar bo'yicha maxsus adabiyotlardan olingan. Shu sababli, ko'ngilochar matematika adabiyoti talabalari, ammo nayranglar bo'yicha zamonaviy ixtisoslashtirilgan adabiyotlar bilan tanish bo'lmaganlar, ehtimol, bu kitobda rekreatsion bilimlarning yangi sohasiga - boy yangi sohaga duch kelishlari mumkin, ular mavjudligi haqida umuman bexabar bo'lishlari mumkin. .

Rus nashriga muharrirning so'zboshisi
Muallifning so'zboshisidan
Birinchi bob
KARTALAR BILAN MATEMATIK FIKRLAR
Beshta kartalar to'plami (9).
Hisob birliklari sifatida kartalar. Kemadan olingan kartalar sonini taxmin qilish (10). Kartalarning raqamli qiymatlaridan foydalanish
To'rtta karta bilan diqqatni jamlang (11). Ajoyib bashorat (12). E'tiborni mo'ljallangan kartaga qarating (13). Tsiklik raqam (14). Yo'qolgan karta (15).
Ranglar va kostyumlardagi farqlarga asoslangan nayranglar Qirollar va malikalar bilan hiyla (19). Kartalarning old va orqa tomonlarini ishlatish. Qora va qizil kostyumning kartalari sonini taqqoslash (20). Kartochkalar bilan hiyla (20).
Kemadagi kartalarning dastlabki joylashishiga qarab hiyla-nayranglar
To'rtta eys bilan hiyla (21). "Manxetten mo'jizalari" (22). Qancha karta o'tkaziladi? (22). Diqqatni kartani topishga qarating (23).
Ikkinchi bob
KICHIK OB'YEKTLAR BILAN FOQUSLAR
Zar
Yig'indini taxmin qilish (25). Tushgan ochkolar sonini taxmin qilish (27).
Bo'shliq bilan Domino zanjiri (27). O'n uchta suyakdan iborat qator (28).
Kalendarlar. Sirli kvadratlar (29). Belgilangan sanalar bilan diqqatni qarating (29). Bashorat (30).
Soat. Terish bo'yicha rejalashtirilgan raqamni taxmin qilish (31). Soat va zar bilan diqqatni qarating (32).
Matchlar. Uch qoziq gugurt (33). Mushtda nechta gugurt siqiladi?
(34). Kim nimani oldi? (34). Sirli to'qqiz tangalar (36). Tanga qaysi qo‘lda? (36). Gerb yoki "bar" (37). Shaxmat taxtasi. Uchta shashka bilan diqqatni qarating (38) Kichik ob'ektlar. Diqqatni uchta ob'ektga qarating (39). To'rt ob'ektdan birini taxmin qilish bilan aldash (40).
Uchinchi bob
TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK TOPOLOGIK PUZZL
Qog'oz halqalar (44).
Ro'molcha bilan nayranglar
Barmoqlarni kesish bilan diqqatni qarating (48). Bir-biriga bog'langan ro'molchalarga e'tibor qarating (50). Tugunlarni bog'lash muammosi (51).
Kordonlar va iplar
Shnur yoki ip bilan nayranglar (52). Boshqa shnur fokuslari (56).
Mato
Sirli halqa (58). Yelekni ichkariga burish (59). Yelekni yechish (60).
Kauchuk halqalar Sakrash halqasi (60). Buralgan halqa (61).
To'rtinchi bob
MAXSUS UCHUN UCHUNLAR BILAN DIQQAT BERADI
Raqamli kartalar (64). Teshikli kartalar (65). "Teginish" bilan fokuslar
Fokusni oltita kvadrat (66). Rangli xarita (67).
Hayvonni o'ylab ko'ring (69). Zar va domino bilan nayranglar 70. Uch xonali raqamlar bilan hiyla (70). Domino trick box (70). Chiplar bilan diqqatni qarating (71).
Beshinchi bob
RAQAMLARNING YO'Q BO'LISHI. I bo'lim
Chiziqlar bilan paradoks (73). Yuzning yo'qolishi (75). "Yo'qolib borayotgan jangchi" (76). Yo'qolgan quyon (78).
Oltinchi bob
RAQAMLARNING YO'Q BO'LISHI. II bo'lim
Shaxmat taxtasi paradoksi (79). Maydon bilan paradoks (81). Kvadrat variant (82). Fibonachchi raqamlari (83).
To'rtburchak varianti (85). Paradoksning yana bir varianti (87). Uchburchak varianti (90). To'rt qismli kvadratlar (93). Uch qismli kvadratlar (95). Ikki qismli kvadratlar (95). Egri chiziqli va 3D variantlari (96).
Ettinchi bob
RAQAMLAR BILAN TOZILMA
Tez kub ildizi (98). Fibonachchi raqamlarini qo'shish (100). Raqamni bashorat qilish (101). Raqamni taxmin qilish (102). To'qqizlikning siri (105). Raqamli ildizlar (105). Raqamli ildiz barqarorligi (107). Taxmin qilish yoshi (108). Qo'shish bilan diqqatni qarating (109). Ko'paytirish bilan diqqatni qarating (109). Yettilikning siri (100). Yig'indini bashorat qilish (112). "Psixologik lahzalar" (114).
Muharrir eslatmalari

Matematik jumboqlarning muxlislari ushbu kitobda ko'plab qiziqarli muammolarni, fan tarixidan qiziqarli epizodlarni va taniqli ommabop Martin Gardnerning matematik qiziqishlarini topadilar.

Matematik fokuslar matematik naqshlarni ko'rsatishning o'ziga xos shaklidir.
Agar o'quv taqdimotida ular g'oyalarni maksimal darajada oshkor qilishga intilishsa, bu erda samaradorlik va o'yin-kulgiga erishish uchun, aksincha, masalaning mohiyatini iloji boricha ayyorlik bilan yashiradilar. Shuning uchun mavhum raqamlar o'rniga tez-tez ishlatiladi turli buyumlar yoki raqamlar bilan bog'liq bo'lgan narsalar to'plami: domino, gugurt, soatlar, kalendar, tangalar va hatto kartalar (albatta, kartalardan bunday foydalanish qimor o'yinchilarining ma'nosiz o'yin-kulgilariga hech qanday aloqasi yo'q; muallif ta'kidlaganidek, bu erda kartalar Ular oddiygina hisoblanishi mumkin bo'lgan bir xil ob'ektlar sifatida ko'rib chiqiladi; ulardagi tasvirlar bunda hech qanday rol o'ynamaydi).

Matematik mo'jizalar va sirlarni yuklab oling va o'qing, Gardner M.

Scientific American jurnalidan yangi jumboqlar, oʻyinlar, paradokslar va boshqa matematik oʻyin-kulgilar Donald Knutning kirish soʻzi, muallifning soʻnggi soʻzi va 105 ta rasm va diagrammalar.

Er yuzidagi eng buyuk matematik shouga xush kelibsiz! Martin Gardner yana tajribali ko'ngilochar bo'lib, oddiy o'yin va dollar hisoblari muammolarini, shuningdek, fizika, matematika, astronomiya va falsafadagi fundamental muammolarni taqdim etadi. M. Gardnerning barcha kitoblari singari, bu nashr ham eng keng kitobxonlar doirasi uchun ochiq, ham professional matematiklar uchun qiziqarli.

Yuklab oling va o'qing Eng yaxshi matematik o'yinlar va boshqotirmalar yoki haqiqiy matematik sirk, Gardner M., 2009 yil

Sarlavha: Klassik boshqotirmalar.

Ushbu kitobdagi barcha topishmoqlar biz "qutidan tashqari" yoki "vaziyatli" topishmoqlar deb ataydigan turdagi.

Gardner Martin

"MATEMATIKA MO'JIZALARI VA SIRLARI"

Rus nashriga muharrirning so'zboshisi

Sizning oldingizda 64 hujayradan iborat oddiy kvadrat shaxmat panjarasi mavjud. Sizning ko'zingiz oldida bir nechta kesmalar amalga oshiriladi va olingan qismlardan to'rtburchaklar hosil bo'ladi, ammo ularda atigi 63 hujayra mavjud!

Siz stolga sochilgan kartalarda yozilgan raqamlardan biri haqida o'yladingiz. Sizning sherigingiz ko'rsatgich bilan kartalarga birma-bir tegadi va shu bilan birga siz o'zingiz uchun mo'ljallangan raqamni yozasiz va oxirgi harfga kelganingizda, ko'rsatgich to'g'ridan-to'g'ri raqamingizda to'xtaydi!

Fokuslar? Ha, agar xohlasangiz; to'g'rirog'i, matematikaga asoslangan, raqamlar va raqamlarning xususiyatlariga asoslangan tajribalar va faqat biroz ekstravagant shaklda kiyingan. U yoki bu tajribaning mohiyatini tushunish esa kichik, ammo aniq matematik qonuniyatni ham tushunishni anglatadi.

Aynan shu yashirin matematika bilan Martin Gardnerning kitobi qiziq. Yashirin - chunki muallifning o'zi ko'p hollarda matematika tilida o'z tajribalari asosida yotgan naqshlarni tuzmaydi, o'zini ko'rsatish, aniq va yashirin harakatlarini tasvirlash bilan cheklaydi; ammo maktab algebrasi va geometriyasining elementlari bilan tanish bo'lgan o'quvchi muallifning tushuntirishlaridan mos keladigan algebraik yoki geometrik g'oyani tiklashdan mamnun bo'lishi shubhasiz. Biroq, alohida, qiziqroq holatlarda (qavslar bilan raqamlar bilan belgilangan) biz muallifning taqdimotiga uning konstruktsiyalarining matematik mohiyatini ochib beradigan kichik eslatmalarni qo'shishdan erkinlik oldik; bu eslatmalar kitobning oxirida joylashtirilgan.

Matematik fokuslar matematik naqshlarni ko'rsatishning o'ziga xos shaklidir.

Agar o'quv taqdimotida ular g'oyalarni maksimal darajada oshkor qilishga intilishsa, bu erda samaradorlik va o'yin-kulgiga erishish uchun, aksincha, masalaning mohiyatini iloji boricha ayyorlik bilan yashiradilar. Shuning uchun mavhum raqamlar o'rniga raqamlar bilan bog'liq bo'lgan turli xil ob'ektlar yoki ob'ektlar to'plami juda tez-tez ishlatiladi: dominolar, gugurtlar, soatlar, taqvim, tangalar va hatto kartalar (albatta, kartalardan foydalanish bilan hech qanday aloqasi yo'q). qimor o'yinlarining bema'ni o'yin-kulgilari; muallif ta'kidlaganidek, bu erda kartalar hisoblash uchun qulay bo'lgan bir xil ob'ektlar sifatida ko'rib chiqiladi; ulardagi tasvirlar bunda hech qanday rol o'ynamaydi).

Umid qilamizki, Gardnerning kitobi ko'plab o'quvchilarni qiziqtiradi: yosh ishtirokchilar va yakka matematik to'garaklar, kattalar "tartibsiz" matematikani sevuvchilar va ehtimol bu erda tasvirlangan u yoki bu tajribalar hatto jiddiy olimda ham qisqa vaqt ichida tabassumni uyg'otadi. katta ishdan dam olish lahzasi.

Va shunga qaramay, shaxmat kabi matematik nayranglarning o'ziga xos jozibasi bor. Shaxmat matematik konstruktsiyaning nafisligini o'yin taqdim eta oladigan zavq bilan birlashtiradi. Matematik nayranglarda matematik konstruktsiyalarning nafisligi o'yin-kulgi bilan birlashtirilgan. Shuning uchun ular bir vaqtning o'zida ikkala soha bilan tanish bo'lganlarga katta zavq bag'ishlashlari ajablanarli emas.

Ushbu kitob, mening ma'lumotlarimga ko'ra, zamonaviy matematik yo'nalishning butun sohasini o'rganishga qaratilgan birinchi urinishdir. Ushbu kitobdagi materiallarning aksariyati qiziqarli matematik adabiyotlardan emas, balki maxsus sehrli adabiyotlardan olingan. Shu sababli, rekreatsion matematika adabiyoti talabalari, ammo nayranglar bo'yicha zamonaviy ixtisoslashtirilgan adabiyotlar bilan tanish bo'lmaganlar, ehtimol, ushbu kitobda rekreatsion bilimlarning yangi sohasi - yangi boy sohaga duch kelishlari mumkin, ular mavjudligidan umuman shubhalanmaydilar.

Nyu-York, 1955 yil

Martin Gardner

Birinchi bob. KARTALAR BILAN MATEMATIK FIKRLAR

O'yin kartalari matematik tabiatning sehrli fokuslarini tayyorlashda ishlatilishi mumkin bo'lgan o'ziga xos xususiyatlarga ega. Biz beshta bunday xususiyatni ko'rsatamiz.

1. Kartochkalarni oddiygina hisoblash uchun qulay bo'lgan bir xil ob'ektlar sifatida ko'rib chiqish mumkin; ulardagi tasvirlar hech qanday rol o'ynamaydi.

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan tosh, gugurt yoki qog'oz parchalaridan foydalanish mumkin.

2. Kartochkalarga ularning old tomonida nima ko'rsatilganiga qarab 1 dan 13 gacha raqamli qiymatlar berilishi mumkin (bu holda jek, malika va qirol mos ravishda 11, 12 va 13 sifatida qabul qilinadi)).

3. Ular to'rtta kostyumga yoki qora va qizil kartochkalarga bo'linishi mumkin.

4. Har bir karta old va bor teskari tomon.

5. Kartochkalar ixcham va bir xil hajmda. Bu sizga ularni turli yo'llar bilan joylashtirish, ularni qatorlarga guruhlash yoki kartalarni aralashtirish orqali osongina xafa bo'ladigan qoziqlar yasash imkonini beradi.

Ko'p imkoniyatlarga ega bo'lgan holda, karta fokuslari uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan bo'lishi kerak va aytish mumkinki, matematik karta fokuslari, albatta, kartalar o'yinining o'zi kabi qadimgi.

Ko'rinishidan, matematik tomonidan karta hiyla-nayranglari haqidagi eng qadimgi muhokama 1612 yilda Frantsiyada nashr etilgan Klod Gaspard Bachetning (Problemes plaisants et delectables) qiziqarli kitobida topilgan. Keyinchalik, matematik o'yin-kulgiga bag'ishlangan ko'plab kitoblarda karta hiylalariga havolalar paydo bo'ldi.

Karta nayranglarini ko'rib chiqishni ma'qul ko'rgan birinchi va ehtimol yagona faylasuf amerikalik Charlz Pirs edi. Maqolalaridan birida u 1860 yilda oʻz atamalaridan foydalanib, “tsiklik arifmetika”ga asoslanib, bir nechta gʻayrioddiy karta hiylalarini “oʻylab topganini” tan oladi. U shunday ikkita hiylani “birinchi qiziquvchanlik” va “ikkinchi qiziquvchanlik” sarlavhalari ostida batafsil bayon qiladi.

“Birinchi qiziquvchanlik” Ferma teoremasiga asoslanadi. Uni namoyish qilish usulini tasvirlash uchun 13 sahifa kerak bo'ldi va uning mohiyatini tushuntirish uchun qo'shimcha 52 sahifa olindi. Garchi Pirs o'zining hiylasi tufayli yuzaga kelgan "ommaning doimiy qiziqishi va hayrati" haqida xabar bergan bo'lsa-da, bu hiylaning kulgili ta'siri tayyorgarlikning murakkabligiga shunchalik nomutanosib ko'rinadiki, tomoshabinlar uzoq vaqt uxlamaganiga ishonish qiyin. tugashidan oldin.

Gardner Martin

"MATEMATIKA MO'JIZALARI VA SIRLARI"

Rus nashriga muharrirning so'zboshisi

Matematik fokuslar matematik naqshlarni ko'rsatishning o'ziga xos shaklidir.

G. E. Shilov

Nyu-York, 1955 yil

Martin Gardner

Birinchi bob. KARTALAR BILAN MATEMATIK FIKRLAR

O'yin kartalari matematik tabiatning sehrli fokuslarini tayyorlashda ishlatilishi mumkin bo'lgan o'ziga xos xususiyatlarga ega. Biz beshta bunday xususiyatni ko'rsatamiz.

1. Kartochkalarni oddiygina hisoblash uchun qulay bo'lgan bir xil ob'ektlar sifatida ko'rib chiqish mumkin; ulardagi tasvirlar hech qanday rol o'ynamaydi.

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan tosh, gugurt yoki qog'oz parchalaridan foydalanish mumkin.

3. Ular to'rtta kostyumga yoki qora va qizil kartochkalarga bo'linishi mumkin.

4. Har bir kartaning old va orqa tomoni bor.

Ko'p imkoniyatlarga ega bo'lgan holda, karta fokuslari uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan bo'lishi kerak va aytish mumkinki, matematik karta fokuslari, albatta, kartalar o'yinining o'zi kabi qadimgi.

Ko'rinishidan, matematik tomonidan karta hiyla-nayranglari haqidagi eng birinchi munozara Klodning "Gaspard Basche" nomli qiziqarli kitobida topilgan. Klod Gaspard Bachet 1612 yilda Frantsiyada nashr etilgan "Problemlar plaisants va delectables". Keyinchalik, matematik o'yin-kulgiga bag'ishlangan ko'plab kitoblarda karta hiylalariga havolalar paydo bo'ldi.

“Birinchi qiziquvchanlik” Ferma teoremasiga asoslanadi. Uni namoyish qilish usulini tasvirlash uchun 13 sahifa kerak bo'ldi va uning mohiyatini tushuntirish uchun qo'shimcha 52 sahifa olindi. Garchi Pirs o'zining hiylasiga "ommaning doimiy qiziqishi va hayrati" haqida xabar bergan bo'lsa-da, bu hiylaning kulgili ta'siri tayyorgarlikning murakkabligiga shu qadar mutanosib bo'lib tuyuladiki, tomoshabinlar tomoshadan ancha oldin uxlab qolmaganiga ishonish qiyin. ijrosining oxiri.

Qadimgi hiyla-nayrangni namoyish qilish usulini o'zgartirish natijasida uning o'yin-kulgilari g'ayrioddiy darajada oshganiga misol.

O'n oltita kartochka stol ustiga to'rtta kartadan iborat kvadrat shaklida yuqoriga qarab qo'yilgan. Kimdir bitta karta haqida o'ylash va namoyishchiga qaysi vertikal qatorda joylashganligini aytishni taklif qiladi. Keyin kartalar o'ng qo'l bilan vertikal qatorlarda yig'iladi va chap qo'lda ketma-ket yig'iladi. Shundan so'ng, kartalar yana gorizontallar bo'ylab ketma-ket kvadrat shaklida joylashtiriladi; Shunday qilib, dastlab bir xil vertikal qatorga joylashtirilgan kartalar endi bir xil gorizontal qatorda paydo bo'ladi. Namoyishchi ularning qaysi birida hozir o'ylab topilgan karta borligini eslab qolishi kerak. Keyinchalik, tomoshabindan kartani qaysi vertikal qatorda ko'rishini yana bir bor ko'rsatish so'raladi.Shundan ko'rinib turibdiki, shundan so'ng ko'rsatuvchi darhol mo'ljallangan kartani ko'rsatishi mumkin, u hozirgina nomlangan vertikal qator va gorizontal qatorning kesishmasida yotadi. unda, ma'lumki, u joylashgan bo'lishi kerak. Bu hiylaning muvaffaqiyati, albatta, tomoshabinning masalaning mohiyatini tan olish uchun protseduraga etarlicha rioya qilishiga bog'liq.

Beshta kartalar to'plami

Va endi biz xuddi shu printsip boshqa holatda qanday ishlatilishini aytib beramiz.

Namoyishchi to'rtta tomoshabin bilan birga stolga o'tiradi. U har kimga (shu jumladan o'zi ham) beshta kartani tarqatadi, har kimni ularga qarashga va bitta o'ylashga taklif qiladi. Keyin u kartalarni yig'adi, ularni beshta qoziq qilib stolga qo'yadi va kimdandir ulardan birini ko'rsatishini so'raydi. Keyin u bu qoziqni qo'liga oladi, ventilyatordagi kartalarni ochadi, tomoshabinlarga qaratadi va ulardan birortasi mo'ljallangan kartani ko'rayotganini so'raydi. Agar shunday bo'lsa, unda ko'rsatuvchi (kartalarga bir marta ham qaramasdan) darhol uni tortib oladi. Ushbu protsedura barcha mo'ljallangan kartalar topilmaguncha har bir to'plam bilan takrorlanadi. O'ylab topilgan kartalarning ba'zilarida umuman bo'lmasligi mumkin, boshqalarida esa ikkita yoki undan ko'p bo'lishi mumkin, ammo har qanday holatda, kartalar aniq ko'rsatilishi bilan taxmin qilinadi.