Уравнения на надлъжно движение на самолет. Линеаризация на уравненията за надлъжно движение на самолет Изчисляване на траекторията на самолет с помощта на уравненията на движение

Страница 1

Движението на самолета като твърдо тяло се състои от две движения: движението на центъра на масата и движението около центъра на масата. Тъй като при всяко от тези движения самолетът има три степени на свобода, общото му движение се характеризира с шест степени на свобода. За да зададете движение по всяко време, е необходимо да зададете шест координати като функции на времето.

За определяне на позицията на самолета ще използваме следните правоъгълни координатни системи (фиг. 2.1):

стационарна система Ox0y0z0, чието начало съвпада с центъра на масата на самолета, оста Oy0 е насочена вертикално, а осите Ox0 и Oz0 са хоризонтални и имат фиксирана посока спрямо Земята;

свързана система Ox1y1z1 с начало в центъра на масата на самолета, чиито оси са насочени по главните оси на инерция на самолета: оста Ox1 е по надлъжната ос, оста Oy1 е в равнината на симетрия, оста Oz1 е перпендикулярна на равнината на симетрия;

скоростна система Oxyz с начало в центъра на масата на въздухоплавателното средство, чиято ос Ox е насочена по протежение на вектора на скоростта V, оста Oy в равнината на симетрия, оста Oz е перпендикулярна на равнината на симетрия;

Положението на свързаната система Ox1y1z1 спрямо стационарната система Ox0y0z0 се характеризира с ъгли на Ойлер: φ – ъгъл на накланяне, ψ – ъгъл на отклонение и J – ъгъл на тангаж.

Позицията на вектора на въздушната скорост V спрямо свързаната система Ox1y1z1 се характеризира с ъгъла на атака α и ъгъла на плъзгане b.

Често вместо инерционна координатна система се избира система, свързана със Земята. Положението на центъра на масата на самолета в тази координатна система може да се характеризира с височината на полета H, страничното отклонение от зададената траектория на полета Z и изминатото разстояние L.

Ориз. 2.1 Координатни системи

Нека разгледаме равнинното движение на самолет, при което векторът на скоростта на центъра на масата съвпада с равнината на симетрия. Самолетът във високоскоростната координатна система е показан на фиг. 2.2.

Ориз. 2.2 Самолет във високоскоростна координатна система

Записваме уравненията на надлъжното движение на центъра на масата на самолета в проекция върху осите OXa и OYa във формата

(2.1)

(2.2)

Където m е маса;

V – въздушна скорост на самолета;

P – теглителна сила на двигателя;

а – ъгъл на атака;

q – ъгъл на наклон на вектора на скоростта спрямо хоризонта;

Xa – съпротивителна сила;

Ya – аеродинамична подемна сила;

G – сила на тежестта.

Нека означим съответно с Mz и Jz общия момент на аеродинамичните сили, действащи спрямо напречната ос, минаваща през центъра на масата, и инерционния момент спрямо същата ос. Уравнението на моментите около напречната ос на самолета ще бъде:

(2.3)

Ако Mshv и Jv са шарнирният момент и моментът на инерцията на асансьора спрямо неговата ос на въртене, Mv е управляващият момент, създаден от системата за управление, тогава уравнението на движението на асансьора ще бъде:

(2.4)

В четири уравнения (2.1) – (2.4) неизвестните са пет величини J, q, a, V и dв.

Като липсващо пето уравнение приемаме кинематичното уравнение, свързващо величините J, q и a (виж фиг. 2.2).

В случай на анализ на динамиката на самолет, летящ със скорост, значително по-ниска от орбиталната скорост, уравненията на движението могат да бъдат опростени в сравнение с общия случай на полет на самолет; по-специално, въртенето и сферичността на Земята могат да бъдат пренебрегнати . Освен това ще направим редица опростяващи предположения.

само квазистатично, за текущата стойност на скоростния напор.

Когато анализираме устойчивостта и управляемостта на самолета, ще използваме следните правоъгълни десни координатни оси.

Нормална земна координатна система OXgYgZg. Тази система от координатни оси има постоянна ориентация спрямо Земята. Началото на координатите съвпада с центъра на масата (CM) на самолета. Осите 0Xg и 0Zg лежат в хоризонталната равнина. Тяхната ориентация може да бъде взета произволно в зависимост от целите на решавания проблем. При решаване на навигационни проблеми оста 0Xg често е насочена на север, успоредно на допирателната към меридиана, а оста 0Zg е насочена на изток. За да се анализира стабилността и управляемостта на въздухоплавателно средство, е удобно да се вземе посоката на ориентация на оста 0Xg, за да съвпадне по посока с проекцията на вектора на скоростта върху хоризонталната равнина в началния момент от времето на изследването на движението. Във всички случаи оста 0Yg е насочена нагоре по локалния вертикал, а оста 0Zg лежи в хоризонталната равнина и заедно с осите OXg и 0Yg образува дясна система от координатни оси (фиг. 1.1). Равнината XgOYg се нарича локална вертикална равнина.

Свързана координатна система OXYZ. Началото на координатите се намира в центъра на масата на самолета. Оста OX лежи в равнината на симетрия и е насочена по линията на хордата на крилото (или успоредно на някаква друга посока, фиксирана спрямо самолета) към носа на самолета. Оста 0Y лежи в равнината на симетрия на самолета и е насочена нагоре (при хоризонтален полет), оста 0Z допълва системата надясно.

Ъгълът на атака a е ъгълът между надлъжната ос на самолета и проекцията на въздушната скорост върху равнината OXY. Ъгълът е положителен, ако проекцията на въздушната скорост на самолета върху оста 0Y е отрицателна.

Ъгълът на плъзгане p е ъгълът между въздушната скорост на въздухоплавателното средство и равнината OXY на свързаната координатна система. Ъгълът е положителен, ако проекцията на въздушната скорост върху напречната ос е положителна.

Позицията на свързаната система с координатни оси OXYZ спрямо нормалната земна координатна система OXeYgZg може да бъде напълно определена от три ъгъла: φ, #, y, наречени ъгли. Ойлер. Последователно завъртане на свързаната система

координати към всеки от ъглите на Ойлер, може да се стигне до всяко ъглово положение на свързаната система спрямо осите на нормалната координатна система.

При изучаване на динамиката на въздухоплавателното средство се използват следните концепции за ъгли на Ойлер.

Ъгъл на отклонение r]) е ъгълът между някаква начална посока (например оста 0Xg на нормалната координатна система) и проекцията на свързаната ос на въздухоплавателното средство върху хоризонталната равнина. Ъгълът е положителен, ако оста OX е подравнена с проекцията на надлъжната ос върху хоризонталната равнина чрез завъртане по посока на часовниковата стрелка около оста OYg.

Ъгълът на наклон # е ъгълът между надлъжната # ос на въздухоплавателното средство OX и локалната хоризонтална равнина OXgZg. Ъгълът е положителен, ако надлъжната ос е над хоризонта.

Ъгълът на накланяне y е ъгълът между локалната вертикална равнина, минаваща през оста OX y и свързаната ос 0Y на въздухоплавателното средство. Ъгълът е положителен, ако оста O K на самолета е подравнена с локалната вертикална равнина чрез завъртане по посока на часовниковата стрелка около оста OX. Ъглите на Ойлер могат да бъдат получени чрез последователни завъртания на свързани оси около нормалните оси. Ще приемем, че нормалната и свързаните координатни системи са комбинирани в началото. Първото завъртане на системата от свързани оси ще бъде направено спрямо оста O с ъгъла на отклонение r]; (f съвпада с оста OYgX на фиг. 1.2)); второто завъртане е спрямо оста 0ZX под ъгъл Ф ('& съвпада с оста OZJ и накрая, третото завъртане се извършва спрямо оста OX под ъгъл y (y съвпада с оста OX). Проектирането на вектори Ф, Ф, у, които са компонентите

вектор на ъгловата скорост на самолета спрямо нормалната координатна система, върху съответните оси, получаваме уравнения за връзката между ъглите на Ойлер и ъгловите скорости на въртене на съответните оси:

co* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

co2 = φ cos y - φ cos φ sin y.

При извеждането на уравненията на движението на центъра на масата на самолета е необходимо да се вземе предвид векторното уравнение за промяната на импулса

-^- + o>xV)=# + G, (1.2)

където ω е векторът на скоростта на въртене на осите, свързани с въздухоплавателното средство;

R е основният вектор на външните сили, в общия случай аеродинамични

логически сили и тяга; G е векторът на гравитационните сили.

От уравнение (1.2) получаваме система от уравнения за движение на CM на въздухоплавателното средство в проекции върху съответните оси:

t (gZ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

t iy’dt “b U - = Rz + Gz>

където Vx, Vy, Vz са проекции на скорост V; Rx, Rz - проекции

резултатни сили (аеродинамични сили и тяга); Gxi Gyy Gz - проекции на гравитацията върху свързани оси.

Проекциите на гравитацията върху съответните оси се определят с помощта на насочващи косинуси (Таблица 1.1) и имат формата:

Gy = - G cos ft cos y; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

При полет в атмосфера, неподвижна спрямо Земята, проекциите на скоростта на полета са свързани с ъглите на атака и плъзгане и големината на скоростта (V) чрез отношенията

Vx = V cos a cos p;

Vу = - V sin a cos р;

Изразите за проекциите на резултантните сили Rx, Rin Rz имат следния вид:

Rx = - cxqS - f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

където cx, cy, сг - коефициенти на проекции на аеродинамични сили върху осите на свързаната координатна система; P е броят на двигателите (обикновено P = / (U, #)); Fn - ъгъл на спиране на двигателя (ff > 0, когато проекцията на вектора на тягата върху оста 0Y на самолета е положителна). Освен това навсякъде ще вземем = 0. За да се определи плътността p (H), включена в израза за налягането на скоростта q, е необходимо да се интегрира уравнението за височината

Vx sin ft+ Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1,7)

Зависимостта p (H) може да се намери от таблиците на стандартната атмосфера или от приблизителната формула

където за височини на полета I s 10 000 m K f 10~4. За да се получи затворена система от уравнения на движението на самолета в свързани оси, уравненията (13) трябва да бъдат допълнени с кинематични

отношения, които позволяват да се определят ъглите на ориентация на самолета y, ft, r]1 и могат да бъдат получени от уравнения (1.1):

■ф = Кcos У - sin V):

■fr= „y sin y + cos Vi (1-8)

Y= co* - tan ft (©у cos y - sinY),

а ъгловите скорости cov, co, coz се определят от уравненията за движение на самолета спрямо СМ. Уравненията на движение на самолет спрямо центъра на масата могат да бъдат получени от закона за промяна на ъгловия импулс

-^-=MR-ZxK.(1.9)

Това векторно уравнение използва следната нотация: ->■ ->

K е моментът на импулса на самолета; MR е основният момент на външни сили, действащи върху самолета.

Проекциите на вектора на ъгловия импулс K върху движещите се оси обикновено се записват в следната форма:

K t = I x^X? xy®y I XZ^ZI

К, Iу^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Уравнения (1.10) могат да бъдат опростени за най-честия случай на анализ на динамиката на въздухоплавателно средство, имащо равнина на симетрия. В този случай 1хг = Iyz - 0. От уравнение (1.9), използвайки съотношения (1.10), получаваме система от уравнения за движението на самолета спрямо CM:

h -jf — — hy („4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Ако приемем главните оси на инерция като SY OXYZ, тогава 1xy = 0. В тази връзка ще извършим допълнителен анализ на динамиката на самолета, използвайки главните оси на инерция на самолета като оси OXYZ.

Моментите, включени в дясната страна на уравненията (1.11), са сумата от аеродинамичните моменти и моментите от тягата на двигателя. Аеродинамичните моменти са записани във формуляра

където tХ1 ty, mz са безразмерните коефициенти на аеродинамичните моменти.

Коефициентите на аеродинамичните сили и моменти обикновено се изразяват под формата на функционални зависимости от кинематичните параметри на движение и параметрите на подобие в зависимост от режима на полет:

y, g mXt = F(a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1.12)

Числата M и Re характеризират първоначалния режим на полет, следователно, когато се анализира стабилността или контролираните движения, тези параметри могат да се приемат като постоянни стойности. В общия случай на движение дясната страна на всяко от уравненията на силите и моментите ще съдържа доста сложна функция, определена като правило въз основа на апроксимация на експериментални данни.

Фиг. 1.3 показва правилата на знаците за основните параметри на движението на самолета, както и за величините на отклонения на органите за управление и лостовете за управление.

За малки ъгли на атака и странично плъзгане обикновено се използва представянето на аеродинамичните коефициенти под формата на разширения в ред на Тейлър по отношение на параметрите на движение, като се запазват само първите членове на това разширение. Този математически модел на аеродинамични сили и моменти за малки ъгли на атака се съгласува доста добре с летателната практика и експериментите в аеродинамичните тунели. Въз основа на материали от работи по аеродинамиката на въздухоплавателни средства за различни цели, ще приемем следната форма на представяне на коефициентите на аеродинамичните сили и моменти като функция на параметрите на движение и ъглите на отклонение на органите за управление:

сх ^ схо 4~ сх (°0"

U ^ SU0 4" s^ua 4" S!/F;

сг = cfp + СгН6„;

ти - itixi|5 - f - ■b thxha>x-(- th -f - /l* (I -|- - J - L2LP6,!

o (0.- (0^- r b b„

tu = myfi + tu ho)x + tu Uyy + r + ga/be + tu bn;

tg = tg(a) + tg zwz/i? f.

При решаването на специфични проблеми на динамиката на полета може да се опрости общата форма на представяне на аеродинамичните сили и моменти. За малки ъгли на атака много аеродинамични коефициенти на странично движение са постоянни и надлъжният момент може да бъде представен като

mz(a) = mzo + m£a,

където mz0 е коефициентът на надлъжния момент при a = 0.

Компонентите, включени в израза (1.13), пропорционални на ъглите α, обикновено се намират от статични тестове на модели в аеродинамични тунели или чрез изчисление. Да намеря

Изисква се Изследователски институт за деривати, twx (y).

динамично тестване на модели. Въпреки това, при такива тестове обикновено има едновременна промяна в ъгловите скорости и ъглите на атака и плъзгане, поради което по време на измерванията и обработката едновременно се определят следните количества:

CO - CO-,

tg* = t2g -mz;

0), Р. Юу I век.

mx* = mx + mx sin a; tu* = Shuh tu sin a.

CO.. (O.. ft CO-. CO.. ft

ty% = t,/ -|- tiiy cos a; tx% = txy + tx cos a.

Работата показва, че за да се анализира динамиката на самолет,

особено при ниски ъгли на атака е допустимо да се представя момента

com под формата на съотношения (1.13), в които производните mS и m$

взето равно на нула, и под изразите m®x и т.н.

се разбират величините m“j, m™у [вж (1.14)], определени експериментално. Нека покажем, че това е приемливо, като ограничим разглеждането си до проблемите на анализирането на полети с малки ъгли на атака и странично плъзгане при постоянна скорост на полета. Замествайки изразите за скорости Vх, Vy, Vz (1.5) в уравнения (1.3) и извършвайки необходимите трансформации, получаваме

= % COS a + coA. sina - f -^r )